たぶんだぶん

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悪魔の一問解いてみた。文系が。(出題:H25岐阜県高校入試数学のとある一問より)

丁度、一年位前の話なんですがこんなツイートをしたところ

 

理系界隈がほんの少し盛り上がってました(他人事)

 

 (下に図形等きれいに描きなおした画像があります。)

 

平成25年度に岐阜県で行われた高校入試の数学のとある一問なのですが、

 

正答率が0%だったんです。

 

だいたい大問の中に3,4問の小問が出題されるのですが、この問題は

 

図形分野の最終問題でした。

 

なぜ正答率が0%だったのかはここで考察しても意味がないので各々考察してみてください。

 

たぶん小数点以下は切り捨てられたのではないかとも…

 

 

 

そうじゃないんです。今回はこれを解いてみるのです。

 

実はというと、このツイートをしてからこの問題を真剣に解いてはいませんでした。

 

正確に言えば解けなかったのです…

 

でもまあなんかいろいろ参考にしつつ解いてみたので勉強のアテにでもしてください。

 

つい先日高校入試は終わったばかりなんですけどね()

 

 

はい、では問題文詳細です。

f:id:tabundabun:20180322163642p:plain

 わかりにくかったら画像保存してプリントアウトでもしてどうぞ。

 

それでは解いていきます。

 

解法はいろいろあると思うのですが方べきの定理云々など中学生にあまりなじみのないものは使わないようにします。(僕自身使えないのが本音だけどね)

 

ということでこの問題で使った主なポイントがこちらです。

 

<使ったやつ>

円周角の定理

三平方の定理

相似
角の二等分線と比

比例式

 

おなじみのメンバーです。

 

解き方です。

 

まずは問題文からわかる事を書きました。

 

f:id:tabundabun:20180322165011j:plain

見やすいですね(適当)

 

円周角の定理より

弧ADに対する円周角は等しいので

∠ABH=∠ACD・・・①

半円に対する円周角は直角なので

∠ADC=90°

 

問題文より∠AHB=90°であるから

∠ADC=∠AHB・・・②

 

①と②から

二組の角がそれぞれ等しい(相似条件)より

△ABH∽△ACD が成り立つ。

 

使った円周角の定理、相似条件について↓

f:id:tabundabun:20180322171736p:plain

 △ACDは直角三角形なので

三平方の定理より

AC^2=AD^2+CD^2 が成り立つ。

問題文より AC=10 CD=6 であるから代入して

100=AD^2+36

AD^2=64

AD=8(>0)

 

三平方の定理はさすがにわかるよねぇ()↓

f:id:tabundabun:20180322172554p:plain

(もちろん直角三角形やで)

 

 

また、問題文より ∠EAH=∠DAH なので

△AEDは二等辺三角形である。

すなわち AD=AE=8

 

△ADHは直角三角形なので

∠DAH+∠ADH=90° (三角形内角の和)・・・①

 

△ACDも直角三角形なので

∠BDC+∠ADH=90°・・・②

 

①②より

∠DAH=∠BDC

 

円周角の定理より

弧BCに対する円周角は等しいので

∠BDC=∠BAC

 

(ちなみにこのへんをまとめると

∠EAH=∠DAH=∠BDC=∠BAC になる(すごい))

 

 

∠EAH=∠BACより

△ABHにおいて辺AEは角の二等分線となる。

 

f:id:tabundabun:20180322180634p:plain

角の二等分線と比の関係より

BE:EH=AB:AH

 

また△ABH∽△ACDより

AB:AH=AC:AD

 

AC=10 AD=8 であるから

BE:EH=AB:AH=AC:AD=10:8

BE:EH=AB:AH=AC:AD=5:4

となり

BE:EH=5:4

となる。(近づいてきた)

 

つまりBE=5xとするとEH=4xである・・・①

またBH=9xも成り立つ。

 

 

また△ABH∽△ACDより

BH:AH=CD:AD

CD=6 AD=8 であるから

BH:AH=CD:AD=6:8

BH:AH=CD:AD=3:4

 

つまり BH=9x より代入して

9x:AH=3:4

3AH=36x

AH=12x・・・②

(比例式の性質 a:b=c:dならばbc=adが成り立つ。)

 

△AEHは直角三角形なので AE=8 より

三平方の定理を使うと

AH^2+EH^2=AE^2が成り立つ。

代入して

(12x)^2+(4x)^2=8^2

144x^2+16x^2=64

160x^2=64

x^2=0.4

x=√0.4(>0)

x=√4/√10

x=2/√10

有利化して

x=√10/5

 

BE=5xなのでxに代入して

 

BE=(√10/5)・5

BE=√10

 

おわり

 

 

後半は閃き要素が多すぎてぐちゃぐちゃですが…

 

ここまで解いて見たらわかると思いますがこんな問題でたら解かずに

 

諦めますね。まあこれが難問なのか良問なのかの区別は僕にはできませんけど…

 

とはいいつつも他に簡単なやり方があると思うので是非考えてみてくださいね。

 

僕はもう限界です。

 

参考になれば幸いです()

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中学生向けとはいいませんが中学数学の権化みたいな問題ですので

 

解いてみてはいかがでしょう?

 

ちなみに過去問と模範解答を確認したい場合は書籍買ってください。

 

丸コピは法に触れちゃうんであくまで自身でかくにんしてね。

 

 

 

(二度と解くもんか……)